TVI et calculs costauds !

La fonction f est définie sur R par f(x) = 2/(e^x + e^(-x)). Avant de commencer, vérifions si f(x) peut valoir 0 à certains moments et poser des problèmes de définition. Comme f(x) est une somme d'exponentielles, et que les exponentielles sont strictement positives, f(x) ne peut jamais être égal à 0. Donc nous pouvons être confiants. Réfléchissons graphiquement au nombre de solutions sur R de l'équation f(x) = x. En traçant la fonction 2/(e^x + e^(-x)) = x, nous obtenons une seule solution, x = 2. Passons maintenant à l'étape suivante. On pose la fonction g(x) = f(x) - x. Pour montrer que g est décroissante, on pourrait espérer que g soit la somme de fonctions décroissantes. Malheureusement, nous avons déjà vu graphiquement que f(x) n'est pas décroissante, mais plutôt croissante puis décroissante, donc ce n'est pas le cas. Nous devons donc calculer les dérivées. Calculons d'abord la dérivée de f. La dérivée de 2/(e^x + e^(-x)) est 2*(-e^x + e^(-x))/(e^x + e^(-x))^2. Maintenant, vérifions le signe de cette dérivée. Mettons tout au même dénominateur : -2/(e^x + e^(-x))^2 * (e^x - e^(-x)). Maintenant, regardons le signe de cette expression. Si x est positif, cela semble simple. Si x est négatif, cela se complique un peu. Donc quittons tout ça. Restons calmes et gardons la tête froide. Le résultat obtenu est -2e^(2x) + 2. Cela ressemble à une identité remarquable, n'est-ce pas ? En effet, nous pouvons réécrire cette expression comme -(e^x - 1)^2. Donc, quel que soit x, cette expression est négative. La fonction g est donc décroissante. En résumé, nous avons montré que la fonction g(x) = f(x) - x est décroissante. Nous pouvons donc construire un tableau simple pour g : - Les limites de g en +∞ et -∞ valent +∞ et -∞ respectivement, ce qui est cohérent. - g est continue sur R - 0 est compris entre -∞ et +∞, donc il existe un unique α tel que g(2α) = 0. En conclusion, l'équation f(x) = x admet une seule solution sur R.