Transformer puis primitiver

Dans ce cours, nous étudions comment trouver une primitive d'une fonction pour laquelle il n'est pas évident de la trouver initialement. Nous remarquons que dériver une fonction est toujours facile, mais trouver une primitive peut être compliqué. Dans notre exemple, nous avons une fonction f(x) = 3x^2 + 2x^3 + 2x, et nous cherchons à l'exprimer sous la forme u' * u. En identifiant u(x) = x^3 + 2x, nous remarquons que u'(x) = 3x^2 + 2, ce qui correspond exactement au terme dans la fonction f(x). Ainsi, la fonction f(x) peut être exprimée comme la dérivée presque exacte de u^2(x). Nous retenons qu'une constante multiplicative dans une primitive n'est pas un problème. En dérivant u^2(x), nous obtenons 2u'(x)u(x), soit 2(x^3 + 2x). En ajoutant la constante 1/2, nous obtenons notre primitive de f(x), qui vaut (1/2)(x^3 + 2x)^2. Ensuite, nous cherchons la primitive qui vaut 5 quand x = 1. Nous savons que les primitives sont de la forme f(x) + k, où k est une constante réelle. Pour trouver k, nous utilisons l'équation f(1) + k = 5. En résolvant l'équation, nous trouvons que k = 1/2. Ainsi, la fonction recherchée est (1/2)(x^3 + 2x)^2 + 1/2. Dans la seconde partie du cours, nous étudions une nouvelle fonction g(x) qui est un produit au dénominateur. Nous utilisons une méthode classique pour les fonctions rationnelles, c'est-à-dire la décomposition en éléments simples. En trouvant les réels a et b tels que g(x) = a/x + b/(x-1), nous obtenons a = -1 et b = 1. Ainsi, g(x) équivaut à (-1/x) + (1/(x-1)). Trouver une primitive devient beaucoup plus simple dans ce cas, car nous avons une somme de termes faciles à identifier. La primitive de -1/x est -ln|x| et la primitive de 1/(x-1) est ln|x-1|. En regroupant ces deux termes, nous obtenons notre primitive de g(x), qui est -ln|x| + ln|(x-1)|. Il faut faire attention à l'intervalle de définition, qui exclut les valeurs de x pour lesquelles la fonction n'était pas définie. Enfin, nous mentionnons qu'une primitive de 1/x est ln|x|, avec la condition que x soit strictement positif. Si nous voulons nous débarrasser des valeurs absolues, nous pouvons écrire la primitive comme ln(x) - ln(-x). Il est important de noter que pour une fonction avec des intervalles de définition multiples, il est possible que les primitives aient des expressions différentes selon l'intervalle. C'est le cas de 1/x, qui a une expression différente pour R+ et R-. Cela conclut notre cours sur ces deux méthodes de calcul de primitives.