Primitive et réécriture

Dans ce cours, nous sommes présentés à une fonction définie par f2x = x + log(4) + 2/(e^(2x) + 1). Nous nous concentrons sur la recherche d'une expression de primitive pour faciliter notre travail. • Nous commençons par calculer les limites en plus et moins infini. Lorsque x tend vers plus l'infini, f2x tend vers la limite de x, qui est également plus l'infini. Lorsque x tend vers moins l'infini, f2x tend vers 2. • En analysant la variation de f, nous montrons que f est dérivable sur R car elle est la somme d'un polynôme de degré 1 (x + log(4)) et d'une fraction où les deux fonctions sont dérivables. • En dérivant f2x, nous arrivons à f'2x = 1 - 2e^(2x)/(e^(2x) + 1)^2. Nous étudions le signe de f'2x et concluons qu'il est toujours positif. En d'autres termes, f est croissante sur R. • En réécrivant f2x, nous remarquons que x et log(4) sont communs aux deux expressions. Il ne reste plus qu'à montrer que 2 - 2e^(2x)/(e^(2x) + 1) est équivalent à cette différence. En simplifiant cette expression, nous obtenons la primitive de f, qui est x^2/2 + (2 + log(4))x - 2ln(e^(2x) + 1) + K, où K est une constante réelle. Ainsi, nous avons trouvé l'ensemble des primitives possibles de cette fonction.