Encadrer une Intégrale

Le cours porte sur les encadrements d'intégrales pour trouver des limites. On nous propose une fonction f(x) = e^(-x^2) à étudier et on nous demande de l'encadrer pour tout x supérieur à 1. Premièrement, on remarque que la fonction exponentielle est toujours positive, donc f(x) est également positive pour tout x supérieur à 1. Ensuite, pour montrer que f(x) est inférieure à e^(-x), on utilise des manipulations algébriques en observant que x est supérieur à x² et en multipliant par -1 pour inverser le signe. En composant cette inégalité avec l'exponentielle, on obtient l'inégalité souhaitée. En utilisant la propriété de monotonie de l'intégrale, on en déduit un encadrement de l'intégrale de f(x) de 1 à 2. On sait que pour tout x appartenant à [1,2], 0 est inférieur à f(x) qui est lui-même inférieur à e^(-x). Ainsi, on calcule l'intégrale de 0 de 1 à 2, qui est égale à 0, et l'intégrale de e^(-x) de 1 à 2, qui se résout facilement. On obtient finalement que l'intégrale de f(x) de 1 à 2 est comprise entre 0 et e^(-1) - e^(-2). Cette méthode nous permet donc d'encadrer une intégrale en utilisant la monotonie de celle-ci.