Continuité et suites : Théorème du point fixe

L'étude de la continuité est appliquée à l'étude des suites, avec un théorème fondamental : le théorème du point fixe. Si une fonction f est définie et continue sur un intervalle I et si une suite un est définie de telle manière que pour chaque n, un appartient à I et un+1 est égal à f(un), alors si un converge vers l (l dans I), on a f(l) = l. Ce résultat est intuitif car lorsque n tend vers l'infini, un tend vers l et donc f(un) tend vers f(l). Cependant, il faut noter que la continuité de la fonction est nécessaire pour que ce résultat soit valide. La démonstration repose sur l'application de la définition de la continuité et l'unicité de la limite. Il est également rappelé que le comportement de convergence peut varier en fonction de la nature de la fonction, avec des convergences en escalier ou en escargot.