Continuité et suites 1

Dans cette méthode, nous étudions le calcul d'une limite lorsque la suite est définie par récurrence. Il s'agit des suites dites "en escalier". Pour trouver la limite et la justifier, il est essentiel de vérifier certaines hypothèses. La méthode consiste à considérer une suite spécifique définie par u0 = 1 et un+1 = u^n * (e^2 - u). Il est important de noter que la convergence peut dépendre du premier terme. Ainsi, si une suite définie par récurrence de la forme un+1 = f(un) converge vers une limite L, alors un+1 converge aussi vers L. Cela permet de passer à la limite de l'équation un+1 = f(un) en considérant que la limite de un+1 est L et que la limite de un, étant donné que un converge vers L, est f(L). Par conséquent, L est nécessairement un point fixe de l'équation f(x) = x. Cependant, cette assertion n'est vraie que si f est une fonction continue. Il est donc essentiel de justifier la continuité. L'énoncé suppose la convergence vers L, mais il ne justifie pas pourquoi. Cependant, c'est cette hypothèse qui permet de conclure que la limite est parmi les points fixes de f(x) = x. Si aucun point fixe n'existe, il n'y aura pas de limite pour cette suite définie par récurrence avec une relation de type un+1 = f(un). Dans cet exemple spécifique, on cherche les points fixes de la fonction f(x) = x * (e^2 - x). On trouve que la seule solution est x = 0. Comme nous supposons que la suite converge, c'est la seule possible limite. Graphiquement, on peut représenter cette suite en utilisant une construction en escalier, où chaque terme un est reporté sur l'axe des abscisses. On peut voir que la suite converge vers 0, mais cela dépend du premier terme u0. Si u0 est positif, la suite converge, sinon elle diverge vers moins l'infini. Ainsi, le premier terme est essentiel. Enfin, la continuité est essentielle dans ce type de fonction. Un exemple de fonction discontinue est présenté, où une suite particulière converge vers a sans jamais être égale à a. Cela montre qu'en l'absence de continuité, l'égalité limite de f(un+) = f(limite de un) ne s'applique pas. Il est donc crucial d'avoir la continuité pour utiliser cette méthode de calcul de limite.