Continuité et Suites 2

Dans ce cours, on étudie une suite définie par récurrence et on cherche à trouver sa limite. On associe une fonction f à la suite et on étudie la continuité de cette fonction. Ensuite, on résout l'équation f(x) = x pour trouver les solutions possibles. On étudie également la dérivabilité de la fonction f et on montre qu'elle est croissante sur certains intervalles. On utilise ensuite la méthode de récurrence pour montrer que les termes de la suite sont compris entre 0.5 et 3. On conclut que la suite est croissante et bornée, donc elle est convergente. On utilise ensuite la continuité de f pour montrer que la limite de la suite est une solution de l'équation f(x) = x. On trouve que la limite doit être 1. On explique ensuite pourquoi la continuité de f est importante en montrant un contre-exemple où la suite converge vers 1 mais ne satisfait pas l'équation f(x) = x. On conclut en résumant la méthode utilisée pour trouver la limite des suites définies par récurrence et en proposant des exercices d'entraînement.