TVI et expo

L'objectif de ce cours est d'étudier le nombre de solutions d'une équation. Graphiquement, on observe les fonctions E-x² et E2x-1. La première est une courbe en forme de cloche et la seconde est une fonction exponentielle décalée d'une unité sur l'axe Y. On remarque qu'il semble y avoir une solution à environ 0.552. On observe également que pour les nombres négatifs, la fonction noire est au-dessus de la fonction rouge, tandis que pour les nombres positifs, elles s'intersectent à un certain point. Pour montrer qu'il y a une solution pour tout réel négatif, on utilise le fait que la fonction E2x-1 est strictement inférieure à la fonction E2-x². Donc, elles ne se croisent pas et il n'y a pas de solution. Ensuite, on se concentre sur les nombres positifs. On montre que la fonction f2x = E2x-1 est strictement décroissante sur l'intervalle [0, +∞]. On peut le démontrer en écrivant f2x = E2-x² sur l'intervalle [0, +∞]. On utilise également le fait que l'exponentielle est décroissante. Donc, f est négative et décroissante sur cet intervalle. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, on peut conclure qu'il existe une unique solution à l'équation sur l'intervalle des nombres positifs. En résumé, il n'y a pas de solution pour les nombres négatifs, mais il y a une unique solution pour les nombres positifs. Ce résultat est conforme à ce que nous avions observé graphiquement.