Inégalité fondamentale

Dans cette vidéo, le sujet abordé est la traduction de la convexité par une inégalité. L'idée principale est de montrer que, pour une fonction convexe, un point sur la courbe sera toujours situé au-dessus d'un autre point ayant la même abscisse, mais se trouvant sur une sécante entre deux autres points. On commence par observer un graphe illustrant une fonction convexe, où une courbe rouge est en dessous de sécantes bleues. Ensuite, on explique que pour vérifier cette relation, on compare la différence d'ordonnée entre un point sur la sécante bleue et un point sur la courbe rouge, pour une même abscisse entre les points A et B. Pour faciliter les calculs, on introduit un point intermédiaire T entre les abscisses de A et B, en prenant une moyenne pondérée des abscisses. On compare ensuite l'image de ce point intermédiaire par la fonction F (la courbe rouge) avec l'image de cette abscisse par l'équation de la sécante. La difficulté de la démonstration réside dans le fait que la relation TF2X + 1-TF2Y doit être l'image du point intermédiaire sur la sécante. Cette étape est souvent acceptée trop rapidement dans les démonstrations, mais une démonstration complète est présentée dans une autre vidéo pour ceux qui sont intéressés. Dans la version courte de la démonstration présentée, on prend les réels X et Y, ainsi qu'un réel T entre 0 et 1. On considère les points A(X, F2X), B(Y, F2Y) et M(TX + 1-TY, F(TX + 1-TY)). Grâce à la définition de la convexité, on montre que F(TX + 1-TY) est bien situé en dessous du segment, ce qui prouve l'inégalité. En conclusion, il existe un lien logique entre la convexité et la concavité. Si une fonction est convexe, sa négation est concave, et vice versa. Un exemple graphique est présenté pour illustrer cela. La vidéo se termine en encourageant les spectateurs à poser des questions dans le forum, et en promettant une démonstration complète dans une autre vidéo bonus.