Dériver ln(u)

Dans ce cours, nous apprenons à déterminer l'ensemble de définition et à calculer la dérivée d'une fonction contenant des logarithmes. Il est important de toujours faire attention à l'ensemble de définition d'une expression contenant un logarithme, qui est défini uniquement sur Réactoire+. Nous nous concentrons sur la méthode permettant de déterminer l'ensemble de définition d'une fonction avec un logarithme et de calculer sa dérivée. Parfois, dans un exercice plus long, les élèves oublient de prendre en compte l'ensemble de définition de l'expression à étudier. Nous examinons tout d'abord la fonction f(x) = ln(8x-4). La fonction ln est définie et dérivable sur R étoile plus. Nous cherchons ensuite les valeurs de x pour lesquelles 8x-4 est supérieur à 0, ce qui correspond à x strictement supérieur à 1,5. Ainsi, l'intervalle de définition et de dérivabilité de f est [1,5, +∞[. En simplifiant, nous obtenons que la dérivée de f est 2/(2x-1). Nous étudions ensuite la fonction f(x) = ln(x² + x + 1), qui est un polynôme de degré 2. Nous examinons son discriminant, qui est strictement négatif, ce qui signifie que le polynôme est toujours positif. Par conséquent, f(x) = ln(g(x)) est définie et dérivable sur R, et g(x) est toujours strictement positif. La dérivée de f est 2x/(x² + x + 1). Nous considérons ensuite la fonction f(x) = ln(u(x)/v(x)), où u(x) et v(x) sont des fonctions. Nous devons étudier le signe de cette expression pour déterminer quand elle est strictement positive. En simplifiant l'expression, nous obtenons que f est strictement positive sur l'intervalle ]-∞, -2[ U ]1, +∞[. L'intervalle de définition et de dérivabilité de f est donc l'intervalle ]-∞, -2[ U ]1, +∞[. La dérivée de f est (u'(x)v(x) - u''(x)v(x))/(v(x)²). Enfin, nous examinons la fonction f(x) = ln(e^x), qui fait intervenir le logarithme et l'exponentielle. Comme d'habitude, nous regardons quand l'expression à l'intérieur du logarithme est strictement positive, ce qui correspond à x strictement supérieur à 0. Ainsi, f est définie et dérivable sur R étoile plus. La dérivée de f est 1. Il est important de se souvenir de vérifier l'ensemble de définition d'une expression contenant un logarithme.