Fonction et suite récurrente associée

Dans cet exercice, nous étudions une fonction définie de manière particulière. Il s'agit d'une fraction rationnelle avec un degré 1 au-dessus de la barre de fraction et un degré 1 en dessous. La fonction est définie sur [0,+∞[. Nous commençons par déterminer la limite de la fonction lorsque x tend vers +∞. En utilisant une composition de fonctions, nous trouvons que la limite est égale au logarithme de 3. Ensuite, nous démontrons que la dérivée de la fonction est égale à 3x+3. Nous utilisons la règle de dérivation des fonctions composées pour simplifier le calcul. Nous concluons que la fonction est strictement croissante et positive, ce qui signifie que f'(x) > 0 pour tout x positif ou nul. Enfin, nous étudions une suite définie par récurrence en utilisant la fonction f. Nous démontrons par récurrence que la suite est décroissante et minorée par 1/2. Cet exercice nous permet de prouver des résultats généraux sur l'ensemble de définition de la fonction et d'étudier une suite définie par récurrence.