Primitive et réécriture

Ce cours présente une fonction définie par f2x égale x plus log de 4 plus 2 sur e2x plus 1. L'objectif est de chercher une primitive de cette fonction en deux parties. Dans la première partie, on analyse la fonction et on cherche des expressions de primitives faciles à détecter. On commence par calculer la limite de f2x lorsque x tend vers plus l'infini et moins l'infini. La limite en plus l'infini est 0 et la limite en moins l'infini est 2. En étudiant le sens de variation de f, on déduit que la fonction est dérivable sur R et que la dérivée de f2x est toujours positive. En utilisant cette information, on conclut que la fonction f est croissante sur R. Dans la deuxième partie, on trouve l'ensemble des primitives de f2x. On observe que f2x peut s'écrire comme x plus 2 plus log de 4. On intègre cette expression en utilisant les règles de base de l'intégration et obtient x² sur 2 plus 2x plus le logarithme de e2x plus 1 plus K, où K est une constante réelle. En résumé, la fonction f2x égale x plus log de 4 plus 2 sur e2x plus 1 a comme primitives possibles x² sur 2 plus 2x plus le logarithme de e2x plus 1 plus K, avec K appartenant à R.