Équation y'=ay+φ

Dans ce cours, nous apprenons à résoudre une équation différentielle de la forme y' = y + phi. La différence entre phi et b, que nous avons déjà vu dans un cours précédent, est que b est une constante tandis que phi est une fonction qui peut varier. Cela rend la résolution de l'équation un peu plus complexe pour trouver la solution particulière. La méthode utilisée reste la même: nous trouvons d'abord une solution particulière en résolvant l'équation sans la partie homogène, c'est-à-dire y' = y, puis nous ajoutons cette solution particulière à la solution générale de l'équation homogène. La seule différence ici est que nous ne cherchons pas une solution particulière constante, mais une solution particulière basée sur un indice donné dans l'énoncé. Dans cet exercice, il nous est demandé de vérifier si la fonction p(x) est une solution de l'équation 2. Nous prenons donc p(x) sous forme d'un polynôme, calculons sa dérivée, et vérifions si 2p' + 6p = x² + 2x - 1. En effectuant les calculs, nous constatons que p(x) est bien une solution de l'équation. Ensuite, il nous est demandé de montrer que si f est une solution de E, cela équivaut à f - p(x) étant une solution de E', où E' est l'équation sans le terme du second ordre. En développant cette équivalence, nous arrivons à la conclusion que f - p(x) est bien une solution de E'. En utilisant cette information, nous pouvons déduire les solutions de E. En résolvant E', qui est une équation différentielle linéaire à coefficient constant du premier ordre sans terme supplémentaire, nous obtenons la forme générale des solutions, qui est A * exp(-3x), où A est un réel. En fin de compte, nous arrivons à la conclusion que si f est une solution de E, alors f a la forme A * exp(-3x) + p(x), avec A étant une constante réelle et p(x) étant le polynôme donné précédemment. Cependant, nous remarquons que la constante multiplicatrice A reste inconnue et que nous aurons besoin de conditions particulières pour la trouver.