Propriétés 3 : inégalités

Dans cette courte vidéo, nous abordons les propriétés de l'intégrale liées aux inégalités. Tout d'abord, si pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, la fonction f(x) est toujours supérieure à la fonction g(x), alors les intégrales correspondantes seront ordonnées de la même manière. Plus précisément, l'intégrale de f sera plus grande que l'intégrale de g. Cette propriété peut être illustrée graphiquement, où l'aire sous la courbe de f sera beaucoup plus grande que celle de g. Une propriété intéressante est que si g est la fonction nulle (c'est-à-dire toujours égale à zéro), alors l'intégrale de la fonction f sera toujours positive. Cela peut sembler intuitif mais il est important de connaître cette propriété, car elle est utile dans les exercices. Dans le cas où nous avons deux fonctions ordonnées de la manière suivante : f(x) est inférieure à une fonction constante égale à M, nous pouvons dire que M est une borne supérieure de f, ce qui signifie que f est bornée supérieurement. Dans ce cas, l'intégrale de f entre a et b sera plus petite que l'intégrale de M entre a et b. L'intégrale de M, étant une fonction constante, correspond à l'aire d'un rectangle qui est égale à M multiplié par la longueur de l'intervalle (b moins a en valeur absolue pour éviter les problèmes de signes). Par conséquent, nous pouvons dire que si f est bornée supérieurement, la valeur de son intégrale est également bornée supérieurement, et elle est bornée supérieurement par M multiplié par la longueur de l'intervalle. De la même manière, si f est bornée inférieurement (c'est-à-dire que pour toutes les valeurs de x, f(x) est supérieure à une valeur M), nous aurons l'intégrale qui sera plus grande que l'aire du rectangle situé en dessous de la courbe, c'est-à-dire M multiplié par la longueur de l'intervalle (b moins a en valeur absolue). Ces propriétés sont simples, mais il est important de les connaître. N'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ si vous avez des doutes, et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.