Fonction définie par une Intégrale

Dans ce cours, nous allons étudier les variations d'une fonction définie par une intégrale. Habituellement, nous calculons la dérivée pour déterminer le signe de la dérivée et la monotonie de la fonction. Cependant, dans le cas d'une dérivée d'une intégrale, le calcul est plus facile. Pour trouver les variations de la fonction f sur l'intervalle de 0 à π, avec f(x) égal à l'intégrale de 0 à x de sin^3(t), il est important de faire attention aux bornes. Une erreur fréquente est de penser que la dérivée de l'intégrale est simplement le terme du milieu, c'est-à-dire sin^3(t). Cependant, cela dépend des bornes de l'intégrale. Par exemple, si nous calculons l'intégrale de -x à 0 de h(t)*t, avec h une fonction quelconque, nous devons prendre en compte les bornes et appliquer le théorème fondamental du calcul intégral. En faisant cela, nous obtenons h(0) - h(x), qui, lorsqu'il est dérivé, devient -h'(x). Dans le cas spécifique d'une intégrale d'une constante, le résultat dépendra des bornes et peut être soit 0, soit une autre valeur. Il est donc important de réfléchir et de ne pas appliquer le résultat de manière automatique. Dans cet exemple, la dérivée de la fonction f, définie comme l'intégrale de 0 à x de sin^3(t), est sin^3(x), ce qui correspond à g'(x) lorsque g(x) est une primitive de sin^3(t). En étudiant les signes de cette dérivée, on remarque que sin^3(x) est du même signe que sin(x) sur l'intervalle de 0 à π. Ainsi, la fonction f est croissante de 0 à π/2, puis décroissante de π/2 à π. Les valeurs aux extrémités de l'intervalle, c'est-à-dire en 0 et en π, peuvent également être calculées, mais cela n'était pas demandé dans cet exercice. En conclusion, il est relativement simple de calculer les variations d'une fonction définie par une intégrale, à condition de faire attention aux bornes et de ne pas confondre les variables internes et externes. Si vous avez des questions supplémentaires, n'hésitez pas à les poser dans la FAQ.