Encadrer une Intégrale

Dans ce cours, nous apprenons à encadrer des intégrales pour trouver des limites. Nous commençons par étudier la fonction f(x) = e^(-x^2). Nous voulons trouver l'encadrement de cette fonction pour tout x supérieur à 1. Nous constatons que f(x) est toujours positive pour tout x supérieur à 1, car une exponentielle est toujours positive. Ensuite, nous voulons montrer que f(x) est inférieur à e^(-x). Nous commençons par multiplier x par lui-même, ce qui ne change pas le signe de nos inégalités car x est positif. Ensuite, nous multiplions par -1, ce qui change le signe de x^2 en -x^2. Puis, en composant cette expression avec l'exponentielle, qui est une fonction strictement croissante, le signe de nos inégalités ne change pas. Ainsi, nous obtenons l'inégalité voulue. En utilisant la monotonie de l'intégrale, nous déduisons ensuite un encadrement de l'intégrale de 1 à 2 de f(x) dx. Pour tout x appartenant à [1, 2], nous avons 0 inférieur ou égal à f(x) inférieur ou égal à e^(-x). Nous intégrons chacune de ces deux fonctions, ce qui nous donne l'intégrale de 1 à 2 de 0, qui est évidemment 0, et l'intégrale de 1 à 2 de e^(-x), que nous savons facilement primitiver (-e^(-x)). Finalement, nous avons encadré notre intégrale entre 0 et e^(-1) - e^(-2). Ainsi, nous avons illustré comment encadrer une intégrale en utilisant la monotonie de l'intégrale.