Inégalité de Bernoulli : visuel

Dans cette vidéo, le professeur explique l'inégalité de Bernoulli, qui stipule que pour toute valeur réelle A strictement positive et pour tout entier naturel N, on a l'inégalité 1 + A^N ≥ 1 + NA. Il mentionne que cette inégalité est étudiée dans le cadre de la récurrence car elle peut être démontrée de manière simple en utilisant le principe de récurrence. Pour donner une intuition graphique de cette formule, le professeur compare les deux éléments de l'inégalité à des fonctions. Il remarque que la partie de gauche, A^N, a une forme exponentielle, tandis que la partie de droite, NA, a une forme affine. Il explique que cela traduit le fait qu'une fonction exponentielle monte beaucoup plus vite qu'une fonction affine et donc est plus grande. Pour illustrer cette idée, le professeur utilise une simulation graphique où il fait varier différents paramètres, notamment la valeur de A. Il montre que pour certaines valeurs de A, la fonction exponentielle est toujours au-dessus de la fonction affine, tandis que pour d'autres valeurs, la fonction affine dépasse la fonction exponentielle dans un certain intervalle. Cependant, il souligne que cela n'est pas important pour l'inégalité de Bernoulli, car ce qui compte, c'est la suite des points représentés par les coordonnées entières des fonctions. En observant les points de la suite définie par les fonctions, le professeur constate que, dès le point 2, la suite représentée par la fonction exponentielle est toujours au-dessus de celle représentée par la fonction affine. Il mentionne également que pour les entiers 0 et 1, les deux fonctions sont égales, ce qui peut être vérifié en remplaçant ces valeurs dans l'inégalité de Bernoulli. Le professeur conclut en soulignant l'utilité de cette inégalité pour les démonstrations mathématiques et invite les spectateurs à poser des questions et utiliser la simulation graphique partagée pour mieux comprendre l'inégalité de Bernoulli.