Récurrence et croissance

La démonstration par récurrence est une technique de preuve mathématique utilisée pour prouver qu'une propriété est vraie pour une séquence infinie de nombres. Dans cet exemple, nous devons montrer par récurrence que la suite Un est strictement décroissante. Pour commencer, nous définissons la propriété P2n, qui est vraie pour le rang n. Dans ce cas, nous devons montrer que Un+1 est plus petit que Un. Nous voulons prouver que P2n est vrai pour tous les rangs naturels n. Nous commençons par l'initialisation en calculant U1 et U0 pour n=0. Dans cet exemple, U1 est égal à -2 et U0 est égal à 2, ce qui est correct. Ensuite, nous passons à l'hérédité. Nous supposons que l'hypothèse de récurrence, c'est-à-dire que Un+1 est plus petit que Un, est vraie pour le rang n. Nous voulons montrer que Pn+1 est vrai. Nous utilisons la relation de récurrence Un+1 = 2Un - 6 pour montrer que Un+2 est plus petit que Un+1. Pour simplifier cette démonstration, nous définissons la fonction f(x) = 2x - 6, qui est une fonction affine strictement croissante. Puisque Un+1 est plus petit que Un, nous composons cette relation par la fonction f. Ainsi, nous obtenons Un+2 qui est également plus petit que Un+1. En conclu