Suite implicite

Le cours concerne les suites implicites, qui sont un peu plus compliquées que les suites explicites. La différence majeure est qu'au lieu d'avoir une relation de récurrence ou une expression explicite en fonction de n, on a une équation qui vérifie la suite. On étudie la suite en analysant son sens de croissance et sa convergence. L'exemple du cours concerne un polynôme Pn de x, qui est la somme des puissances de x jusqu'à x-1, avec un terme de -1. On doit montrer que Pn a une seule racine dans R+, notée Un, et que la suite Un est décroissante et donc converge. On utilise le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour montrer que Pn a une seule racine dans R+. On utilise également une inégalité entre les polynômes Pn et Pn+1 pour montrer que la suite Un est décroissante. On évalue Pn en 1/2 pour montrer que Un est supérieur ou égal à 1/2. Ensuite, on utilise une autre expression de Pn, une suite géométrique, pour montrer que la limite de Pn en Rho (un réel entre 1/2 et 1) est strictement positive. Enfin, on utilise cette information pour montrer que la suite Un tend vers 1/2 en utilisant la définition formelle de la limite.