Lien dérivation

Dans ce cours, nous abordons la convexité d'une fonction dérivable. Nous rappelons que la convexité ne dépend ni de la continuité, ni de la dérivabilité de la fonction, mais seulement de la position entre les séquentes et la courbe de la fonction. Nous simplifions la définition pour la rendre plus pratique pour une utilisation quotidienne. Nous expliquons que f est convexe sur un intervalle i si, pour tout réel x de cet intervalle, f' est croissante. De même, f est concave sur i si f' est décroissante. Nous illustrons cela avec l'exemple de la fonction cubique. Nous observons que la fonction est concave au début et convex à la fin. Nous expliquons que cela correspond à la décroissance de la dérivée f', puis à son augmentation. Nous utilisons également la dérivée seconde pour étudier la convexité. Nous expliquons que si f est deux fois dérivable et que f' est positive, alors f est convexe. Ainsi, plutôt que de comparer les courbes et les droites, il suffit de calculer la dérivée seconde f'' pour déterminer la convexité. En conclusion, il est plus pratique d'étudier la convexité d'une fonction dérivable en calculant sa dérivée seconde. Cela simplifie l'étude en réduisant l'analyse à un simple calcul de dérivée.