Convexité et f''

La convexité d'une fonction est un chapitre important en mathématiques. En étudiant la convexité d'une fonction, on peut trouver des propriétés intéressantes, comme la position de la tangente par rapport à la courbe. Dans cet exemple, nous étudions la fonction f(x) = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x + 1. Cette fonction est un polynôme, donc dérivable au moins deux fois. Nous regardons le signe de la dérivée seconde pour déterminer si la fonction est concave ou convexe. La dérivée seconde de f(x) est 2x - 3. Cette dérivée seconde est positive pour x > 3/2 et négative pour x < 3/2. Cela signifie que f(x) est concave pour x < 3/2 et convexe pour x > 3/2. Dans le deuxième exemple, nous étudions la fonction f(x) = 3x - 3x^(3/2). Cette fonction n'est pas définie pour x < 0 et n'est pas dérivable en x = 0. Nous calculons la dérivée seconde qui est -9/(4√x). Comme √x est toujours positif, la dérivée seconde est toujours négative. Nous concluons que f(x) est concave sur tout son ensemble de définition. En termes d'interprétation, cela signifie que la courbe est toujours située sous les tangentes. On peut également dire que la courbe est au-dessus des cordes définies par deux points sur la courbe. La concavité et la convexité permettent de déterminer la position relative de la tangente par rapport à la courbe.