Convexité et Inégalités

Dans cette leçon, nous abordons la méthode de la convexité. Il s'agit d'une approche classique, mais extrêmement utile une fois que l'on maîtrise son étude. Nous commençons par examiner une fonction f(x) = x³ - 2x². Comme il s'agit d'un polynôme, il est dérivable deux fois sans problème. Nous calculons ensuite ses deux dérivées : f'(x) = 3x² - 4x et f''(x) = 6x - 4. Notre objectif est d'étudier le signe de f''(x). Nous résolvons l'inéquation 6x - 4 > 0, ce qui nous donne x > 3/2. En revanche, si f''(x) < 0, cela signifie que x < 3/2. Nous en déduisons donc la concavité et la convexité de la fonction f : f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2[ et convexe sur l'intervalle ]3/2, +∞[. Ensuite, on nous demande de trouver l'équation de la tangente à la courbe de f au point x = -1. Nous appliquons les formules appropriées : l'équation de la tangente au point x = -1 est f'(-1) * x - (-1) + f(-1). Suite à nos calculs précédents, nous trouvons que f'(-1) = 7 et f(-1) = -3. Ainsi, l'équation de la tangente est y = 7x + 4. Enfin, on nous demande de prouver que pour tout x négatif, x³ - 2x² < 7x + 4. Nous constatons que 7x + 4 est l'équation de la tangente que nous avons précédemment trouvée, et x³ - 2x² est équivalent à f(x). En analysant géométriquement cette inégalité, nous concluons que la courbe de f est située en dessous de sa tangente lorsque f est concave. Comme nous avons prouvé précédemment que f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2[, nous pouvons affirmer que cette inégalité est vraie pour tout x négatif. Il est essentiel de comprendre le concept de convexité lors de la résolution de ce problème. Si nous ne l'appliquons pas, nous nous retrouverons avec une équation de degré 3, ce que nous ne savons pas résoudre. La méthode de la convexité est donc indispensable. N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires.