Inégalité de Bernoulli

Dans cet exercice, on montre l'inégalité de Bernoulli en utilisant la convexité de la fonction 1 + x^n. On commence par étudier la convexité de cette fonction en dérivant deux fois et en analysant le signe des dérivées. On conclut que la fonction est convexe sur l'intervalle [-1, +∞]. Ensuite, on utilise cette convexité pour déduire que pour x > -1, la fonction 1 + x^n est plus grande que 1 + nx. On fait cela en considérant l'équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse 0, qui est donnée par l'équation y = nx + 1. Comme la fonction est convexe, elle est au-dessus de cette tangente, ce qui implique que 1 + x^n est plus grand que 1 + nx. Ainsi, on obtient finalement que 1 + x^n ≥ 1 + nx pour x > -1.