Moyennes arithmétique et géométrique

Dans cet exercice, on étudie l'inégalité entre la moyenne arithmétique, géométrique et harmonique de deux réels positifs x et y. On veut montrer que m < g < h où m est la moyenne arithmétique, g est la moyenne géométrique et h est la moyenne harmonique. On commence par montrer que m < y car x < y. Ensuite, on montre que g < m en utilisant une identité remarquable. On écrit m - g = x + y / 2 - sqrt(xy) = (sqrt(x) - sqrt(y))^2 / 2. Comme (sqrt(x) - sqrt(y))^2 est positif, on conclut que m - g > 0 et donc m > g. Ensuite, on montre que x < g en utilisant le fait que la racine est croissante. Comme x < y, on a sqrt(x) < sqrt(y), ce qui implique x < sqrt(x)*sqrt(y) = sqrt(xy) = g. Finalement, on veut montrer que h est entre x et g. On utilise les inverses des moyennes et on montre que 1/g < 1/h < 1/x. Donc en prenant les inverses, on a g < h < x. Ainsi, on a montré que x < h < g < m < y. On généralise ensuite cette inégalité pour n > 2 en utilisant la concavité de la fonction logarithme. On écrit la moyenne arithmétique comme une somme et la moyenne géométrique comme un produit. On utilise ensuite l'inégalité de concavité du logarithme pour montrer que la somme des logarithmes des xi/n est plus petit qe le logarithme du produit des xi élevés à la puissance 1/n. En utilisant l'équivalence entre le logarithme et l'ordre croissant, on conclut que la moyenne arithmétique est plus petite que la moyenne géométrique.