Points d’inflexion

Dans cet exercice, nous étudions une fonction pour déterminer ses points d'inflexion. Un point d'inflexion est un point où la dérivée seconde d'une fonction change de signe. Pour cela, nous calculons d'abord la dérivée seconde de la fonction. En factorisant cette dérivée seconde, nous pouvons étudier le signe des différents facteurs pour déterminer les points d'inflexion. La dérivée seconde de la fonction est moins cos(3x) fois cos(x) moins cos(2x). Pour étudier le signe de cette expression, nous utilisons quelques formules trigonométriques pour factoriser. Nous factorisons la dérivée seconde par moins cos(2x), ce qui nous donne moins cos(2x) fois (2cos(2x) plus 1). En étudiant le signe de moins cos(2x), nous voyons que cos(2x) est négatif lorsque 2x est entre pi/2 et 3pi/2. Cela signifie que x est entre pi/4 et 3pi/4. En étudiant le signe de 2cos(2x) plus 1, nous trouvons que cela est positif lorsque cos(2x) est supérieur ou égal à -1.5. Cela correspond à x étant entre 0 et 2pi/3, ou entre 7pi/3 et 2pi. En regroupant toutes ces informations, nous pouvons construire un tableau de signes pour la dérivée seconde. Finalement, les seuls changements de signe de la dérivée seconde se produisent lorsque x est égal à pi/4 + (pi/2)k ou à 2pi/3 + (2pi)k, où k est un entier relatif (z). Ainsi, l'ensemble des points d'inflexion de la fonction est donné par les abscisses pi/4 + (pi/2)k et les ordonnées f(pi/4 + (pi/2)k), pour k appartenant à z, ainsi que les abscisses 2pi/3 + (2pi)k et les ordonnées f(2pi/3 + (2pi)k), pour k appartenant à z.