Fonctions convexes avec asymptote

Dans cet exercice, on utilise l'inégalité des pentes pour montrer certains résultats. D'abord, on montre que si la limite de f, lorsque x tend vers l'infini, est 0, alors f est positive sur tout son domaine. On suppose par l'absurde qu'il existe un x0 tel que f(x0) soit strictement négatif. Alors, en utilisant la définition de la limite, on montre qu'il existe un x1 plus grand que x0 tel que f(x1) soit entre f(x0) et 0. En utilisant l'inégalité des pentes, on montre que f(x) est strictement supérieur à cette expression. Cependant, cette expression est une fonction affine dont la limite est l'infini. Donc, on obtient une contradiction avec la limite de f qui est 0. Donc, f ne peut pas être négative, ce qui signifie que f est positive pour tout x. Ensuite, on montre que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe. On pose g(x) comme la somme de f(x), une fonction convexe, et ax + b, une fonction affine. On veut montrer l'inégalité de convexité, c'est-à-dire que g(tx + (1-t)y) est plus petite que t*g(x) + (1-t)*g(y) pour tout t entre 0 et 1. En remplaçant g par son expression, on montre que g(tx + (1-t)y) est plus petite que t*g(x) + (1-t)*g(y) en utilisant l'inégalité de convexité de f et en regroupant les termes. Enfin, on suppose que la courbe représentative de f a une asymptote et on veut montrer que la courbe est toujours au-dessus de cette asymptote. On pose y = x + b comme l'équation de l'asymptote de f. On montre que la différence g(x) = f(x) - ax + b tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini, car f a une asymptote en plus l'infini. Par la question précédente, on sait que g est convexe et positive, donc on conclut que f(x) est toujours plus grande que ax + b, ce qui signifie que la courbe de f est au-dessus de son asymptote. En résumé, on utilise l'inégalité des pentes pour montrer que si la limite de f est 0, alors f est positive sur tout son domaine. On montre aussi que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe, et que si la courbe de f a une asymptote, alors elle est toujours au-dessus de cette asymptote.