Simplifier des expressions

Bienvenue dans le monde du logarithme ! Dans ce cours, nous allons aborder les propriétés importantes pour résoudre des inéquations avec l'exponentiel et le logarithme. Nous allons prendre ces propriétés une par une et les résoudre. La première propriété est assez simple : ln(x) = 2. Avant de résoudre cette équation, il est important de noter que les fonctions exponentielle et logarithme sont croissantes, ce qui joue un rôle important dans les inégalités. Lorsque nous utilisons le logarithme naturel, nous devons toujours vérifier que le nombre à l'intérieur est strictement positif, car ln est défini uniquement pour les réels positifs. En revanche, pour l'exponentielle, il n'y aura jamais de problème. Donc, dans ce cas, nous pouvons simplement utiliser l'exponentielle des deux côtés de l'équation et obtenir x = e^2 comme solution. Passons maintenant à la deuxième propriété : e^x + 1 = 5. Cette fois-ci, nous utilisons le logarithme pour résoudre l'équation. Comme e^x + 1 est toujours positif et que 5 est strictement positif, nous pouvons utiliser le logarithme des deux côtés de l'équation et obtenir x + 1 = ln(5) comme solution. La troisième propriété est un peu plus complexe : 3ln(x) - 4 = 8. Encore une fois, il est important de noter que l'équation est définie uniquement pour les réels positifs, donc nous devons faire attention. Nous isolons d'abord le ln(x) et utilisons ensuite l'exponentielle pour obtenir x = e^(4/3) comme solution. Passons maintenant aux inéquations. Dans ln(6x) - 1 > 2, nous devons vérifier l'ensemble de définition de l'inéquation, qui est 1/6 + l'infini, car l'intérieur du ln doit être strictement positif. En utilisant l'exponentielle, nous obtenons 6x - 1 > e^2, ce qui nous donne x > e^2 + 1/6. Nous devons toujours vérifier si cette solution respecte l'hypothèse de départ, ce qui est le cas ici. Dans e^x + 5 > 4e^x, nous devons d'abord rassembler les exponentielles pour pouvoir utiliser le logarithme. Cela nous donne e^x < 5/3. En utilisant le logarithme, nous obtenons x < ln(5/3). Dans ln(x-3) + ln(9-x) = 0, nous pouvons rassembler les logarithmes pour obtenir ln[(x-3)(9-x)] = 0. En utilisant l'exponentielle, nous obtenons l'équation carrée classique (x-3)(9-x) = 0. Après avoir résolu cette équation, nous trouvons deux solutions : x = 6 + racine(8) et x = 6 - racine(8). Cependant, nous devons vérifier si ces solutions sont incluses dans l'ensemble de définition de l'équation, c'est-à-dire si elles sont supérieures à 3 et inférieures à 9. Enfin, dans ln(3-x) - ln(x+1) < 0, nous devons d'abord trouver l'ensemble de définition de l'inéquation, qui est -1 < x < 3. En rassemblant les logarithmes, nous obtenons ln[(3-x)/(x+1)] < 0. Multipliant par (x+1), qui est toujours positif, nous obtenons 3-x < 0, c'est-à-dire x > 2. En intersecant ces deux intervalles, nous trouvons que la solution est 2 < x < 3. Donc, en résumé, lorsque nous résolvons des équations et des inéquations avec le logarithme et l'exponentiel, nous devons toujours prendre en compte l'ensemble de définition de l'équation ou de l'inéquation. Il est également important de rassembler les termes en logarithmes ou en exponentielles autant que possible, et de composer avec la fonction réciproque au dernier moment. N'oubliez pas de prendre en compte les signes lorsque vous divisez ou multipliez par une expression dont le signe n'est pas clair. J'espère que ce résumé vous a aidé à comprendre les principes de base de la résolution d'équations et d'inéquations avec le logarithme et l'exponentiel !