Primitive et réécriture

Ce cours porte sur l'analyse d'une fonction f(x) = x + log(4) + 2/(e^(2x) + 1). Dans la première partie de l'exercice, on cherche à analyser cette fonction pour trouver une expression de sa primitive qui soit facile à détecter. Pour commencer, on calcule la limite de f(x) lorsque x tend vers plus l'infini et moins l'infini. On constate que la limite est de 0 lorsque x tend vers plus l'infini et de 2 lorsque x tend vers moins l'infini. Ensuite, on étudie le sens de variation de f et on dresse le tableau des variations. On observe que f est dérivable sur R et que sa dérivée est toujours positive. Donc, f est croissante sur tout R. Pour trouver les primitives de f(x), on remarque que la fonction peut être réécrite comme x + log(4) + 2 - 2/(e^(2x) + 1). On calcule cette expression et on obtient x^2/2 + 2x + log(e^(2x) + 1) + K, où K est une constante. Donc l'ensemble des primitives de f(x) est donné par x^2/2 + 2x + log(e^(2x) + 1) + K, avec K appartenant à R.