Variation de la constante

Dans cette vidéo, Maty de studio aborde la résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 en utilisant la méthode de la variation de la constante. Il commence par résoudre l'équation y'y = 1/(1 + exp(x)) en trouvant la solution homogène, qui est yh = x * exp(-x). Pour trouver une solution particulière, il utilise la méthode de la variation de la constante en posant la solution cherchée comme y = A(x) * exp(-x), où A(x) est une fonction de x. Après des calculs, il obtient la solution particulière yp = ln(1 + exp(x)) * exp(-x). Il rappelle ensuite qu'il faut ajouter la solution homogène à la solution particulière pour obtenir l'ensemble des solutions de l'équation, qui est l'ensemble des fonctions de la forme y = exp(-x) * (c + ln(1 + exp(x))), où c est un réel. Maty poursuit avec d'autres équations différentielles linéaires d'ordre 1, en utilisant la même méthode de la variation de la constante. Il donne les étapes de résolution pour chaque équation et obtient les solutions correspondantes. Il termine en soulignant l'importance de la méthode de la variation de la constante, qui permet de résoudre toutes les équations différentielles d'ordre 1, sauf dans certains cas où il faut utiliser d'autres méthodes. Il rappelle également de bien multiplier la solution particulière par le facteur exponentiel et de toujours ajouter la solution homogène.