Avec condition initiale

Dans cette vidéo sur la résolution des problèmes de Cauchy, Mathis explique qu'un problème de Cauchy correspond à la fois à une équation différentielle et à des conditions initiales pour la fonction en question. Il résout ensuite deux équations différentielles. Pour la première équation, y' + tan(t)y = sin(t), avec y(0) = 1, Mathis commence par trouver les solutions homogènes, c'est-à-dire les solutions de y' + tan(t)y = 0. Il utilise une technique de variation de la constante et trouve que les solutions homogènes sont de la forme a*cos(t), où a est un nombre réel quelconque. Ensuite, Mathis cherche une solution particulière de l'équation complète. Il pose ys = a(t)*cos(t), où a(t) est une fonction de t. En dérivant ys et en remplaçant dans l'équation, il trouve que a'(t) = -2*sin(t). En intégrant a'(t), il obtient a(t) = 2*cos(t) + c, où c est une constante. Maintenant, Mathis somme la solution homogène et la solution particulière en tenant compte de la condition initiale y(0) = 1. Il trouve que a doit être égal à -3, ce qui donne la solution unique y(t) = 3*cos(t) - 2*cos^2(t). Pour la deuxième équation, x*y' + xy = x^2 - x + 1, avec y(1) = 1, Mathis commence par trouver la solution homogène, qui est y' + x/(1+x)*y = 0. Il utilise une technique de variation de la constante et trouve que les solutions homogènes sont de la forme (x+1)^(-x)*e^a*x, où a est un nombre réel quelconque. Ensuite, Mathis cherche une solution particulière de l'équation complète. Il pose ys = (x+1)*(ax+b), où a et b sont de constantes. En remplaçant ys dans l'équation, il trouve que a = 1 et b = -2. Maintenant, Mathis somme la solution homogène et la solution particulière en tenant compte de la condition initiale y(1) = 1. Il trouve que a doit être égal à e^1, ce qui donne la solution unique y(x) = (x+1)*e^(1-x) + x - 2. En conclusion, Mathis rappelle qu'il faut bien sommer les solutions homogènes et particulières avant d'appliquer les conditions initiales, et que cela donne une unique solution pour chaque problème de Cauchy.