Gérer une valeur absolue

Dans cette vidéo, nous résolvons une équation différentielle sur deux intervalles différents : moins l'infini à 0 et 0 à plus l'infini. L'équation est de la forme |x*y'| + (x-1)y = x^3. Sur l'intervalle moins l'infini à 0, nous décomposons l'expression en utilisant la valeur absolue de x, qui est égale à -x. Nous simplifions ainsi l'équation pour obtenir y' + (1-x/x)y = -x^2. En résolvant cette équation homogène, nous trouvons que la solution homogène est y = Ae^x/x, où A est une constante réelle. Ensuite, nous cherchons une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante. En intégrant l'expression x^3e^(-x), nous trouvons que la solution particulière est y = (x^2 + 3x + 6 + 6/x)e^x/x. Ainsi, l'ensemble des solutions sur l'intervalle moins l'infini à 0 est l'ensemble des fonctions de la forme y = (Ae^x/x) + (x^2 + 3x + 6 + 6/x)e^x/x, où A est une constante réelle. Sur l'intervalle 0 à plus l'infini, l'équation différentielle est différente : y' + (x-1/x)y = x^2. La solution homogène est y = Axe^(-x), où A est une constante réelle. En utilisant la variation de la constante, nous trouvons que la solution particulière est y = (x-1)e^x * x. Ainsi, l'ensemble des solutions sur l'intervalle 0 à plus l'infini est l'ensemble des fonctions de la forme y = Axe^(-x) + (x-1)e^x * x, où A est une constante réelle. En conclusion, il est important de faire attention aux intervalles de résolution demandés, car cela peut influencer les solutions de l'équation différentielle.