Changement de variable

Dans cette vidéo, Mathis de studio résout une équation différentielle en utilisant un changement d'inconnu. L'équation différentielle E1 est de la forme -x^2z' + xz = z^2. L'objectif est de trouver les solutions de E1 sur l'intervalle [1, +∞] qui ne s'annulent pas sur [1, +∞]. Puisqu'E1 n'est pas linéaire en raison de la puissance 2 de z, Mathis introduit une nouvelle variable y égale à 1/z pour linéariser l'équation. En remplaçant z par 1/y, l'équation devient -x^2(1/y)' + x/y = 1/y^2. Grâce à ce changement d'inconnu, Mathis obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre, notée E2, qui est y' + (1/xy) = 1/x^2. Pour résoudre E2, Mathis utilise la méthode classique de séparation de variables. Il trouve la solution homogène y_h(x) = a/x, où a est une constante. Pour la solution particulière, Mathis utilise la méthode de la variation de la constante en posant y_p(x) = u(x)/x. En dérivant y_p(x), il obtient u'(x)/x - u(x)/x^2 = 1/x^2, ce qui donne u'(x)/x = 1/x. En intégrant de part et d'autre, Mathis obtient u(x) = ln|x|. Ainsi, la solution particulière est y_p(x) = ln|x|/x. La solution générale de E2 est donc y(x) = y_h(x) + y_p(x) = a/x + ln|x|/x. Pour trouver les solutions de E1 sur [1, +∞] qui ne s'annulent pas sur [1, +∞], on doit prendre l'inverse de y(x) en s'assurant que le dénominateur ne s'annule pas. Donc, les solutions de E1 sur [1, +∞] qui ne s'annulent pas sur cet intervalle sont y(x) = (a + ln|x|)/x, où a est un nombre réel positif. Mathis conclut en soulignant l'utilité d'un changement d'inconnu pour résoudre une équation différentielle qui ne peut pas être résolue par des méthodes classiques. Il encourage les spectateurs à utiliser cette méthode pour aller au-delà de ce qu'ils ont appris. Il termine en remerciant les spectateurs et en leur donnant rendez-vous pour la prochaine vidéo.