Classique : Raccordement

Dans cette vidéo, nous abordons le problème classique du raccordement en équation différentielle. Nous considérons la fonction f définie sur R* par f(x) = c.exp(-1/x) pour x positif et f(x) = d.exp(-1/x) pour x négatif. La première question consiste à trouver les conditions nécessaires et suffisantes sur c et d pour que f puisse être prolongée par continuité en 0. La condition est que les limites à gauche et à droite de f en 0 soient les mêmes. Après évaluation, on trouve que cette condition est vérifiée si et seulement si d = 0. La deuxième question porte sur la dérivabilité de f en 0, dans le cas où d = 0. Ainsi, f est la fonction qui à x associe c.exp(-1/x) pour x positif et 0 pour x négatif. On montre que f est dérivable à gauche en 0 et que sa dérivée vaut 0. De plus, on montre que la dérivée de f à droite en 0 existe et vaut également 0. Donc f est dérivable en 0 et sa dérivée est continue en 0. Ensuite, nous examinons l'équation différentielle x^2*y' - y = 0 et cherchons à résoudre cette équation sur les intervalles (-∞,0] et [0,∞). Sur ces intervalles, la solution est la même et est donnée par f(x) = a.exp(-1/x), où a est un paramètre réel. Nous cherchons ensuite à raccorder ces deux solutions en 0, en vérifiant la condition de continuité et de dérivabilité en 0. Nous trouvons que pour que la solution soit C1 sur R, c'est-à-dire dérivable et que sa dérivée soit continue sur R, il faut que la solution soit de la forme f(x) = 0 pour x ≤ 0 et f(x) = a.exp(-1/x) pour x > 0, où a peut prendre n'importe quelle valeur réelle. En conclusion, nous avons trouvé toutes les solutions possibles pour l'équation différentielle donnée, en vérifiant les conditions de continuité et de dérivabilité en 0. Le raccordement des solutions sur des intervalles différents est donc un élément crucial dans la résolution des équations différentielles.