Reste de 5³ⁿ - 6ⁿ par 17 ?

Dans cet exercice, nous devons trouver le reste de la division Euclidienne de 5 puissance 3n moins 6 puissance n par 17. Pour résoudre cela, nous pourrions créer une table de congruence pour 5 et une autre pour 6 pour comprendre quand ils sont congruents à quelque chose modulo 17. Cependant, il est important de prendre du recul et d'analyser séparément les deux parties de la différence pour voir s'il y a quelque chose de plus simple. Dans ce cas, nous pouvons simplifier 5 puissance 3n en utilisant la propriété selon laquelle si A est congruent à B, alors A puissance M est congruent à B puissance M. Ainsi, nous pouvons simplifier 5 puissance 3n en enlevant des paquets de 17. Par exemple, nous pouvons enlever 102 (17 x 6) de 125. Ensuite, nous pouvons enlever encore 17 pour obtenir 6. Donc, nous avons 5 puissance 3n congruent à 6 modulo 17. En soustrayant les deux parties de l'équation, nous obtenons que 5 puissance 3n moins 6 puissance n est congruent à 0 modulo 17. Cela signifie que 17 divise toujours cette expression. Ainsi, la réponse à la question est que le reste de la division Euclidienne de 5 puissance 3n moins 6 puissance n par 17 est toujours 0.