Un entier toujours impair ?

Le cours consiste en une démonstration mathématique pour montrer que pour tout nombre entier n, la quantité 3n^4 + 5n est impaire et donc n'est jamais divisible par (n)(n+1). Le cours explique qu'il est important d'utiliser des réflexes mathématiques pour résoudre ce genre d'exercice. Le professeur commence par rappeler que (n)(n+1) rappelle le cours sur les suites, où la somme des entiers jusqu'à n est égale à (n)(n+1)/2. Il dit que ce n'est pas vraiment utilisable ici mais c'est une information qu'il a en tête. Ensuite, il fait remarquer que (n)(n+1) est aussi un produit de deux nombres consécutifs, et que l'un d'entre eux est toujours pair. En utilisant cette information, il démontre que si (n)(n+1) divise (3n^4 + 5n), alors 2 divise n. Mais comme n est impair, cela signifie que (n)(n+1) ne divise jamais (3n^4 + 5n). Ensuite, le professeur se concentre sur le fait que (3n^4 + 5n) est impair et dit que cela lui dérange la partie +1 à la fin, donc il décide de démontrer que (3n^4 + 5n) est pair plutôt que impair. Il factorise la quantité et se demande s'il est possible de la décomposer en 2k. Il explique qu'il faut toujours penser à la première décomposition des k possibles pour un entier. Il commence par le cas où n est pair. Dans ce cas, (3n^4 + 5n) est pair et la démonstration est donc terminée. Ensuite, il examine le cas où n est impair et prend n congruent à 1 modulo 2 (ainsi, il reste 1 dans la division par 2). Dans ce cas, il montre que (3n^4 + 5n) est aussi congruent à 0 modulo 2, donc pair. Cela prouve que (3n^4 + 5n) est pair pour tous les nombres entiers n. En conclusion, le cours démontre que (3n^4 + 5n) est pair pour tous les nombres entiers n, et donc n'est jamais divisible par (n)(n+1). Le professeur rappelle également que (3n^4 + 5n+1) est toujours pair, mais que le produit de trois nombres consécutifs est toujours divisible par 6. Note : La transcription ne semble pas être parfaitement SEO friendly, car elle contient beaucoup de phrases longues et complexes, ainsi que des termes mathématiques qui peuvent ne pas être bien classés par les moteurs de recherche. Pour rendre le contenu plus SEO friendly, il faudrait le réorganiser en paragraphes plus courts et utiliser des termes couramment recherchés dans le domaine du SEO.