5²ⁿ, 2²ⁿ ... et des congruences !

Dans cet exercice de congruence, nous devons déterminer quand l'expression 145 puissance 2022 modulo 17 est divisible par 3. Pour cela, nous utilisons une méthode de gestion des cycles. Tout d'abord, nous remarquons que 5 puissance n est congruent à 2 modulo 3. Nous pouvons donc simplifier notre expression en remplaçant 5 puissance n par 2 puissance n. Ensuite, nous observons que 5 puissance 2n est congruent à 1 modulo 3. Nous pouvons donc dire que ce nombre est toujours congruent à 1. Pour la somme 5 puissance 2n + 5 puissance n + 1, nous obtenons 2 puissance n + 2. Nous étudions ensuite le comportement de 2 puissance n. Nous constatons que si n est pair, alors 2 puissance n est congruent à 1 modulo 3. De plus, 2 puissance 2k est congruent à 1 modulo 3 et 2 puissance 2k + 1 est congruent à 2 modulo 3. Ainsi, nous pouvons dire que pour n pair, 3 divise 5 puissance 2n + 5 puissance n + 1. Dans un deuxième exercice similaire, nous devons savoir quand 2 puissance 2n + 2 puissance n + 1 est divisible par 7. Nous utilisons la même méthode de gestion des cycles. Nous remplaçons 2 puissance 2n par 4 puissance n pour simplifier l'expression. Nous observons que 4 puissance 3k est congruent à 1 modulo 7. De plus, nous constatons que 2 puissance 3k est congruent à 1 modulo 7. Pour la somme 4 puissance n + 2 puissance n + 1, nous obtenons 3 modulo 7. Ainsi, nous pouvons dire que pour n congruent à 0, 1 ou 2 modulo 3, notre expression est divisible par 7. Ces méthodes utilisées dans ces exercices peuvent être appliquées à d'autres situations similaires.