Problème : Suite et PGCD !

Le cours traite d'un problème en arithmétique impliquant une séquence définie de manière explicite. L'objectif est de démontrer différentes propriétés de cette séquence. Tout d'abord, le cours commence par expliquer que la séquence est donnée sous la forme d'une fraction, bien que l'on préfère généralement travailler avec des entiers. Cependant, cette fraction est rapidement simplifiée pour donner une expression plus simple. Ensuite, le cours demande de calculer les valeurs des éléments de la séquence A2 et A3. Ces calculs peuvent être effectués soit mentalement, soit en utilisant une calculatrice. Deux réponses sont obtenues. Ensuite, le cours demande de démontrer une relation de récurrence pour les éléments de la séquence A. En utilisant le calcul effectué précédemment, cette démonstration se fait assez facilement en utilisant la simplification de l'expression. Ensuite, le cours demande de montrer que tous les éléments de la séquence A appartiennent à l'ensemble des entiers naturels. Cette démonstration se fait en utilisant une preuve par récurrence, en montrant que si un élément de la séquence est un entier naturel, alors le suivant l'est aussi. Enfin, le cours aborde une dernière question qui demande de montrer que le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux éléments de la séquence A est égal à 1 ou 3. Cette démonstration se fait en utilisant la relation de récurrence et les propriétés du PGCD, montrant que le PGCD doit diviser 3 et donc être égal à 1 ou 3. En conclusion, le cours démontre différentes propriétés de la séquence A, montrant que tous ses éléments sont des entiers naturels et que le PGCD de deux éléments est égal à 1 ou 3. Il met également en avant l'importance de comprendre les concepts et les démonstrations pour résoudre rapidement ce type de problème.