Fraction irréductible

Dans cet exercice, nous démontrons que la fraction (9n + 1) / (6n + 1) est irréductible pour tout entier n. Pour cela, nous utilisons le fait qu'une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. Nous rappelons également le théorème de Bézout qui stipule que le PGCD de deux nombres est égal à 1 s'il existe u et v dans Z tels que au plus bv soit égal à 1. En utilisant ces concepts, nous arrivons à la conclusion que la fraction (9n + 1) / (6n + 1) est irréductible si et seulement si (9n + 1)u + (6n + 1)v est égal à 1 pour certains u et v dans Z. En développant cette expression, nous obtenons (n(9u + 6v) + (u + v)) = 1. Pour que cette égalité soit vraie pour tous les entiers n, nous devons avoir 9u + 6v = 0 et u + v = 1. Il est évident que u = -2 et v = 3 satisfont ces équations. Ainsi, nous concluons que (9n + 1) * 2 + (6n + 1) * 3 = 1, et selon le théorème de Bézout, ces nombres sont premiers entre eux. Par conséquent, la fraction est irréductible pour tout n.