Coordonnées entières

Dans cet exercice, nous utilisons les équations diophantiennes pour déterminer si le point M appartient à la droite AB, en supposant que les coordonnées des points sont entières. Les coordonnées du point A sont (7,2) et celles du point B sont (-3,-4). Pour montrer que M appartient à la droite AB, nous devons montrer que les vecteurs AM et AB sont colinéaires. Les coordonnées du vecteur AM sont (x-7, y-2) et celles du vecteur AB sont (-10,-6). Nous savons que M appartient à la droite AB si et seulement si AM et AB sont colinéaires, ce qui signifie que leur produit en croix est égal. Ainsi, nous avons l'égalité : (-10)(y-2) = (-6)(x-7). En simplifiant cette équation, nous obtenons : 3(x-7) = 5(y-2), ce qui est l'égalité que nous devions retrouver. Donc, M appartient à B si et seulement si cette égalité est vérifiée. Pour déterminer l'ensemble des points en coordonnées entières appartenant à la droite AB, nous transformons cette égalité en une équation diophantienne. Après simplification, l'équation devient : 3x-5y = 11. Une équation diophantienne a des solutions si le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des deux coefficients divise le terme constant. Dans ce cas, le PGCD de 3 et 5 est 1, ce qui divise 11. Ensuite, nous trouvons une solution particulière pour cette équation. Dans ce cas, une solution particulière est (7, 2). Nous pourrions également prendre (2, -1), mais nous préférons des nombres positifs. Finalement, l'ensemble des solutions est donné par les équations : x = 5k + 7 et y = 3k + 2, où k est un entier. Ces équations représentent l'ensemble des points en coordonnées entières appartenant à la droite AB.