√2 est irrationnel : démo

Dans cet exercice, nous allons prouver que la racine de 2 est un nombre irrationnel en utilisant la méthode du raisonnement par l'absurde. Nous supposons que la racine de 2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme P/Q, où P et Q sont des nombres entiers premiers entre eux. Nous effectuons quelques calculs et arrivons à la conclusion que P au carré est égal à 2Q. Comme P au carré est pair, cela signifie que P est pair. En remplaçant P par 2K, nous obtenons que 4K au carré est égal à 2Q au carré, et simplifiant cette équation, nous obtenons que Q au carré est égal à 2K au carré. Cela implique que Q au carré est pair, donc Q est pair également. Cependant, cela contredit le fait que P et Q soient premiers entre eux, car ils sont tous les deux divisibles par 2. Nous arrivons donc à une contradiction, ce qui signifie que notre supposition de départ selon laquelle la racine de 2 est un nombre rationnel est fausse. Ainsi, nous pouvons conclure que la racine de 2 est un nombre irrationnel.