Solutions entières et récurrence

Dans cet exercice, nous devons résoudre une équation diophantienne en nous restreignant aux solutions positives. Nous devons montrer que si S est supérieur à 4, il existe au moins une solution. Si S est entre 0 et 4, nous devons déterminer les valeurs pour lesquelles il existe au moins une solution. Pour cela, nous constatons que si y est différent de 0, nous dépassons la valeur de S, donc y doit être égal à 0. Ensuite, en examinant les valeurs possibles pour x, nous trouvons les solutions 0, 1 et 2. Ainsi, les valeurs possibles pour S dans cette plage sont 0, 2 et 4. Ensuite, nous devons prouver par récurrence que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation admet au moins une solution dans N². Nous faisons une initialisation en montrant que pour S = 4, il existe une solution. Ensuite, nous supposons qu'il existe un S tel que l'équation admette une solution et nous devons montrer que S + 1 admet également une solution. En utilisant l'équation de Bézout, nous parvenons à représenter S + 1 comme une combinaison linéaire de 2x et 5y. En distinguant les cas où y = 0 et y ≥ 1, nous montrons que l'équation admet une solution dans N² pour tout S ≥ 4. En conclusion, cet exercice démontre comment résoudre une équation diophantienne en restreignant les solutions aux nombres positifs et utilise la récurrence pour prouver l'existence de solutions pour certaines valeurs de S.