Racine rationnelle de polynôme

Dans cet exercice, nous devons montrer qu'un polynôme admet une racine rationnelle. Pour cela, nous devons prouver que si P/Q est une racine de F, alors P divise 3 et Q divise 2. Nous commençons par écrire F(P/Q) de manière simplifiée en évitant les fractions. Après quelques simplifications, nous obtenons l'équation 2P^3 + 5P^2Q + 5PQ^2 + 3Q^3 = 0 (équation 1). Pour montrer que P divise 3, nous factorisons l'équation 1 par P et observons que P divise -3Q^2. Étant donné que le PGCD de P et Q vaut 1, nous pouvons conclure que P divise 3, conformément à ce qui était demandé. De même, en factorisant l'équation 1 par Q, nous montrons que Q divise 2P^3, et nous pouvons conclure que Q divise 2. Ainsi, nous avons répondu à la première question. Dans la deuxième question, nous devons déduire que F admet une racine rationnelle. Pour cela, nous savons que si une racine rationnelle existe, le numérateur doit diviser 3 et le dénominateur doit diviser 2. En utilisant les possibilités trouvées précédemment pour P et Q, nous testons les 8 combinaisons possibles. Après calculs, nous trouvons que la seule racine rationnelle est -3/2. Cela conclut l'exercice.