Classique : jetons colorés

Le cours porte sur les méthodes de dénouement en utilisant des jetons de différentes couleurs. Il y a 20 jetons au total, dont 8 blancs avec le numéro 0 et 5 rouges avec le numéro 7. On tire simultanément 4 jetons et on cherche à calculer différentes combinaisons. La première question concerne le nombre de tirages possibles sans répétition. Il suffit de calculer les combinaisons de 4 parmi 20, ce qui équivaut à 4845. Ensuite, on s'intéresse au nombre de tirages avec les quatre numéros identiques. Les seuls numéros qui apparaissent au moins quatre fois sont le 0, le 2 et le 7. On calcule alors les combinaisons de 4 parmi 8 pour le numéro 0, de 4 parmi 5 pour le numéro 2, et de 4 parmi 4 pour le numéro 7. On obtient ainsi 67 possibilités. La troisième question concerne le nombre de tirages avec uniquement des jetons blancs. Il y a 12 jetons blancs au total, donc on calcule les combinaisons de 4 parmi 12, ce qui donne 495. Ensuite, on cherche le nombre de tirages avec des jetons de la même couleur. Il n'y a que le blanc et le rouge qui sont représentés avec plus de 4 jetons. On calcule donc les combinaisons de 4 parmi 12 pour le blanc, et de 4 parmi 8 pour le rouge. On obtient ainsi 565 possibilités. La cinquième question demande de former le nombre 2020 avec les jetons. Comme l'ordre ne compte pas, on considère les possibilités pour chaque numéro. Il y a 8 jetons avec le numéro 2 et 4 jetons avec le numéro 0. On calcule alors les combinaisons de 2 parmi 8 pour le 2, et de 2 parmi 4 pour le 0. On obtient ainsi 268 possibilités. Enfin, la dernière question est un peu plus complexe. On cherche le nombre de tirages qui comportent au moins un jeton avec un numéro différent des autres. On considère alors l'événement contraire, c'est-à-dire des jetons tous identiques. On a déjà calculé qu'il y avait 76 tirages avec les numéros identiques, donc on soustrait ce nombre du total de tirages possible, ce qui donne 4739. Il est important de noter qu'en dénombrement et en probabilité, il est souvent utile de considérer l'événement contraire pour simplifier les calculs.