Matrice diagonale

Dans cet exercice, nous sommes dans le contexte des matrices 2x2 et des probabilités. Nous avons quatre événements à considérer : A (matrice diagonale), B (matrice triangulaire supérieure et non diagonale), C (matrice triangulaire inférieure et non diagonale) et D (matrice non triangulaire). Pour déterminer les probabilités de ces événements, nous utilisons la méthode classique en comptant le nombre d'issues qui nous intéressent et en le divisant par le nombre total d'issues. Pour A, les matrices triangulaires, nous avons quatre possibilités (ε1 et ε4 peuvent valoir soit 0, soit 1), donc la probabilité de A est 1/4. Pour B et C, les matrices triangulaires supérieure et inférieure respectivement, nous avons également quatre possibilités pour chaque événement. Donc, les probabilités de B et C sont également de 1/4. Pour D, les matrices non triangulaires, il reste quatre possibilités. Donc, la probabilité de D est également de 1/4. Ensuite, nous devons déterminer la probabilité qu'une matrice soit diagonalisable. Pour les matrices de A, elles sont toutes diagonales, donc elles sont diagonalisables. Pour B et C, il faut que les valeurs sur la diagonale soient différentes de 0 et de 1 pour qu'elles soient diagonalisables. Il y a deux possibilités pour chaque valeur, donc il y a 2 diagonalisables dans B et 2 diagonalisables dans C. Enfin, pour les matrices de D, elles sont toutes diagonalisables. En somme, il y a 12 matrices diagonalisables sur les 16 possibles. Donc, la probabilité qu'une matrice soit diagonalisable est de 3/4.