indépendance impossible

Dans cet exercice de probabilité, nous supposons avoir un espace probabilisé avec un univers Ω fini et de cardinal P. Nous utilisons le modèle de l'équiprobabilité, où chaque événement de l'univers a la même probabilité que les autres. L'objectif est de prouver que deux événements A et B, non triviaux (différents de l'ensemble vide et de Ω), ne peuvent pas être indépendants. Nous notons N le cardinal de A et M le cardinal de B. La probabilité de A est donc N/P et la probabilité de B est M/P. En supposant qu'ils sont indépendants, cela signifie que la probabilité de l'intersection de A et B est égale au produit de leurs probabilités. En remplaçant cette équation, nous obtenons le cardinal de l'intersection de A et B, égal à M*N/P. Comme le cardinal est un nombre entier, cela signifie que M*N/P est également un nombre entier. Puisque P est un nombre premier, d'après le théorème de Gauss, P divise N ou P divise M. Supposons que P divise N. Comme N est plus petit ou égal à P, cela signifie que N est soit 0 (ensemble vide) soit P (l'univers Ω). Donc, si A est différent de l'ensemble vide et de Ω, il ne peut pas être indépendant de B. En résumé, si A et B sont indépendants, les seules possibilités sont que A soit l'ensemble vide ou Ω. Si A n'est ni l'ensemble vide ni Ω, alors A et B ne peuvent pas être indépendants.