Relectures indépendantes

Cet exercice de probabilités concerne un livre contenant 4 erreurs. Chaque erreur est corrigée par une série de relecteurs, avec une probabilité de 1/3 à chaque relecture. Les relectures et les corrections sont indépendantes les unes des autres. La question principale est de savoir quelle est la probabilité que l'erreur n°1 ne soit pas corrigée lors de la énième relecture. En utilisant la notation AI pour décrire l'événement "l'erreur 1 est corrigée lors de la ième lecture", nous constatons que P(AI) = 1/3 et P(AI') = 2/3. Les AI étant indépendants, les AI' le sont également. Ainsi, la probabilité que l'erreur n°1 ne soit pas corrigée lors de la énième relecture est (2/3)^n. La deuxième question concerne la probabilité que le livre soit entièrement corrigé lors de la énième relecture. On note BJ comme l'événement "l'erreur n°J n'est pas corrigée après la énième lecture" pour J = 1, 2, 3 ou 4. Nous voulons que l'intersection des BJ' se réalise pour que toutes les erreurs soient corrigées. Comme les BJ sont indépendants, les BJ' le sont également. La probabilité de l'intersection des BJ' est donc égale à (1 - (2/3)^n)^4. Enfin, nous souhaitons savoir combien de relectures sont nécessaires pour que la probabilité que le livre soit entièrement corrigé soit supérieure à 0,9. En résolvant cette équation, nous trouvons que n doit être supérieur à log(1 - 0,9)^(1/4) / log(2/3), soit environ 9,001. Puisque n doit être un entier, nous commençons à partir de n = 10 pour avoir une probabilité supérieure à 0,9.