Cardinal de l’univers

Dans cet exercice de Proba, on considère un univers fini ω avec n événements indépendants a1, a2, ..., an. Ces événements sont liés à de nouveaux événements b1, b2, ..., bn, qui appartiennent aux partitions de l'univers et satisfont la condition que chaque bk est soit égal à ak, soit au complémentaire de ak. On commence par montrer que l'intersection de tous les bn est non vide. Les événements bk étant indépendants, la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités. Comme les probabilités des bk sont différentes de zéro, le produit des n nombres non nuls est non nul. Donc, l'intersection est non vide. Ensuite, on démontre que si on prend deux éléments bn et bn' avec nk différent de nk', alors leur intersection est l'ensemble vide. Comme les probabilités des bn sont différentes de zéro, il existe un k tel que bk est différent de bk'. Et comme bk est soit ak, soit le complémentaire de ak, on a donc une intersection vide entre bn et bn'. Finalement, on utilise ces résultats pour montrer que le cardinal de l'univers Omega est supérieur ou égal à 2^n. On a montré que pour chaque élément bn, il existe un élément x dans bn. De plus, les éléments xb dans les différents bn sont tous différents. Comme pour chaque bn, il y a deux possibilités (ak ou complémentaire de ak), le nombre total d'éléments xb est au moins 2^n. Donc, le cardinal de Omega est supérieur ou égal à 2^n.