algorithme d’Euclide

Dans cet exercice, on cherche d'abord les diviseurs communs de 390 et 525 en utilisant l'algorithme d'Euclide. On trouve que le PGCD de ces deux nombres est de 15, ce qui signifie que les diviseurs communs sont 1, 3 et 5. Ensuite, on cherche le PGCD de (3^123 - 5) et 25. Nous démontrons que le PGCD est de 1, car si le PGCD était de 5 ou de 25, cela signifierait que 5 divise (3^123 - 5), ce qui est impossible car 3 est un nombre premier. Enfin, on démontre que le produit de trois nombres entiers consécutifs est divisible par 6. En utilisant la propriété selon laquelle au moins l'un des trois nombres est pair et au moins l'un est divisible par 3 (car ils sont consécutifs), nous montrons que 2 et 3 divisent le produit. Puisque le PGCD de 2 et 3 est de 1, cela signifie que 6 divise le produit des trois nombres. En résumé, on démontre que 15 est le PGCD de 390 et 525, que 1 est le PGCD de (3^123 - 5) et 25, et que 6 divise le produit de trois nombres consécutifs.