Groupe avec des fonctions

Dans cette vidéo, Corentin aborde plusieurs concepts liés aux structures algébriques, en se concentrant sur la démonstration que l'ensemble R étoile croyeur, muni de la loi étoile, forme un groupe et sur la question de sa commutativité. Il aborde également la simplification de l'expression xy puissance n dans R étoile croyeur pour x, y appartenant à cet ensemble et n appartenant à n étoile. Il commence par rappeler la définition d'un groupe comme étant un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre et où chaque élément a un symétrique. Il précise également que la loi doit être interne. Ensuite, il démontre que la loi étoile est interne en montrant que le résultat des opérations xy et x'y' appartient toujours à R étoile. Il prouve également l'associativité de la loi étoile en montrant que peu importe l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées, le résultat reste le même. Il cherche ensuite l'élément neutre de la loi étoile en posant un système d'équations et déduis que l'élément neutre est (1,0). Il détermine également l'inverse d'un couple (x,y) en résolvant un autre système d'équations et conclut que tout élément (x,y) a un inverse qui est (1/x,-y/x). Il aborde ensuite la question de la commutativité de la loi étoile et montre qu'elle n'est pas vérifiée en exhibant un contre-exemple. Enfin, il passe à la deuxième question et explique que la puissance n du couple (x,y) signifie effectuer la loi étoile sur ce couple n fois. Il montre que pour n=2 et n=3, le résultat peut être exprimé sous une forme spécifique, et propose de prouver par récurrence que pour tout n dans n étoile, le résultat de xy puissance n est de cette forme spécifique. Il conclut en encourageant les spectateurs à mener cette démonstration par récurrence eux-mêmes.