Lois usuelles

Salut à tous ! Dans cette vidéo, nous allons étudier une loi, notée "étoile", qui s'applique sur un ensemble R privé de 1. Cette loi est définie par x étoile y = x + y - x * y. Nous nous posons plusieurs questions sur cette loi. Tout d'abord, nous voulons déterminer si elle est associative et commutative. Pour l'associativité, nous calculons (x étoile y) étoile z et nous obtenons une expression. Ensuite, nous calculons x étoile (y étoile z) et obtenons une autre expression. En comparant les deux, nous constatons qu'elles sont égales. Nous concluons donc que la loi est associative. Ensuite, nous prouvons que la loi est commutative en montrant que x étoile y est égal à y étoile x, en utilisant les propriétés de commutativité de l'addition et de la multiplication dans l'ensemble R. Nous passons ensuite à la question suivante qui concerne l'existence d'un élément neutre pour cette loi. Nous cherchons E tel que x étoile E soit égal à x. En simplifiant l'expression, nous trouvons que E doit être égal à 0. Donc, la loi admet 0 comme élément neutre. Enfin, nous étudions si chaque réel x a un inverse pour cette loi. En posant x étoile A = 0, nous isolons A et trouvons que A = x / (x - 1), en assumant que x est différent de 1. Pour conclure, nous donnons une formule explicite pour la puissance n-ième de x (notée x puissance n). En calculant les premières puissances de x, nous remarquons une régularité et trouvons la formule de récurrence suivante : x puissance n = (1 - 1/x) puissance n. Notons que la puissance n-ième ici représente la répétition de l'opération étoile n fois. Voilà un résumé SEO friendly de cette vidéo sur la loi étoile dans l'ensemble R privé de 1.